이진 트리 탐색 (Binary Tree Search)

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12. 탐색 알고리즘3: 이진 탐색 트리 (Binary Search Tree)¶

1. 트리 (Tree) 구조¶

트리: Node와 Branch를 이용해서, 사이클을 이루지 않도록 구성한 데이터 구조
실제로 어디에 많이 사용되나?
- 트리 중 이진 트리 (Binary Tree) 형태의 구조로, 탐색(검색) 알고리즘 구현을 위해 많이 사용됨

2. 알아둘 용어¶

Node: 트리에서 데이터를 저장하는 기본 요소 (데이터와 다른 연결된 노드에 대한 Branch 정보 포함)
Root Node: 트리 맨 위에 있는 노드
Level: 최상위 노드를 Level 0으로 하였을 때, 하위 Branch로 연결된 노드의 깊이를 나타냄
Parent Node: 어떤 노드의 다음 레벨에 연결된 노드
Child Node: 어떤 노드의 상위 레벨에 연결된 노드
Leaf Node (Terminal Node): Child Node가 하나도 없는 노드
Sibling (Brother Node): 동일한 Parent Node를 가진 노드
Depth: 트리에서 Node가 가질 수 있는 최대 Level

3. 이진 트리와 이진 탐색 트리 (Binary Search Tree)¶

이진 트리: 노드의 최대 Branch가 2인 트리
이진 탐색 트리 (Binary Search Tree, BST): 이진 트리에 다음과 같은 추가적인 조건이 있는 트리
- 왼쪽 노드는 해당 노드보다 작은 값, 오른쪽 노드는 해당 노드보다 큰 값을 가지고 있음!

(출처: www.mathwarehouse.com)

4. 자료 구조 이진 탐색 트리의 장점과 주요 용도¶

주요 용도: 데이터 검색(탐색)
장점: 탐색 속도를 개선할 수 있음

단점은 이진 탐색 트리 알고리즘 이해 후에 살펴보기로 함

이진트리와 정렬된 배열간의 탐색 비교¶

(출처: www.mathwarehouse.com)

5. 파이썬 객체지향 프로그래밍으로 링크드 리스트 구현하기¶

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5.1. 노드 클래스 만들기¶

In [1]:

class Node:
    def __init__(self, value):
        self.value = value
        self.left, self.right = None, None    # 이렇게도 한번에 여러 변수를 초기화할 수 있음

5.2. 이진 탐색 트리에 데이터 넣기¶

이진 탐색 트리 조건에 부합하게 데이터를 넣어야 함

In [19]:

class NodeMgmt:
    def __init__(self, head):
        self.head = head
    
    def insert(self, value):
        self.current_node = self.head
        while True:
            if value < self.current_node.value:
                if self.current_node.left != None:
                    self.current_node = self.current_node.left
                else:
                    self.current_node.left = Node(value)
                    break
            else:
                if self.current_node.right != None:
                    self.current_node = self.current_node.right
                else:
                    self.current_node.right = Node(value)
                    break

In [20]:

head = Node(1)
binary_tree = NodeMgmt(head)

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In [21]:

binary_tree.insert(2)

5.3. 이진 탐색 트리 탐색¶

In [22]:

class NodeMgmt:
    def __init__(self, node):
        self.head = node
    
    def insert(self, value):
        self.current_node = self.head
        while True:
            if value < self.current_node.value:
                if self.current_node.left != None:
                    self.current_node = self.current_node.left
                else:
                    self.current_node.left = Node(value)
                    break
            else:
                if self.current_node.right != None:
                    self.current_node = self.current_node.right
                else:
                    self.current_node.right = Node(value)
                    break
    
    def search(self, value):
        self.current_node = self.head
        while self.current_node:
            if self.current_node.value == value:
                return True
            elif value < self.current_node.value:
                self.current_node = self.current_node.left
            else:
                self.current_node = self.current_node.right
        return False

In [23]:

head = Node(1)
binary_tree = NodeMgmt(head)
binary_tree.insert(2)
binary_tree.insert(0)
binary_tree.insert(4)
binary_tree.insert(8)
binary_tree.insert(-2)

In [24]:

binary_tree.search(8)

Out[24]:

True

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5.4. 이진 탐색 트리 삭제¶

매우 복잡함. 경우를 나누어서 이해하는 것이 좋음

5.4.1. Leaf Node 삭제¶

Leaf Node: Child Node 가 없는 Node
삭제할 Node의 Parent Node가 삭제할 Node를 가리키지 않도록 한다.

5.4.2. Child Node 가 하나인 Node 삭제¶

삭제할 Node의 Parent Node가 삭제할 Node의 Child Node를 가리키도록 한다.

5.4.3. Child Node 가 두 개인 Node 삭제¶

삭제할 Node의 오른쪽 자식 중, 가장 작은 값을 삭제할 Node의 Parent Node가 가리키도록 한다.
삭제할 Node의 왼쪽 자식 중, 가장 큰 값을 삭제할 Node의 Parent Node가 가리키도록 한다.

5.5. 이진 탐색 트리 삭제 코드 구현과 분석¶

5.5.1 삭제할 Node 탐색¶

삭제할 Node가 없는 경우도 처리해야 함
- 이를 위해 삭제할 Node가 없는 경우는 False를 리턴하고, 함수를 종료 시킴

In [ ]:

# def delete(self, value) 함수 내 - 삭제할 Node의 데이터인 value를 입력으로 받음
    searched = False # delete할 Node가 있는지를 판단하는 boolean 변수 선언
    self.current_node, self.parent = self.head, self.head
    while self.current_node:
        if self.current_node.value == value:
            searched = True
            break
        elif value < self.current_node.value:
            self.parent = self.current_node
            self.current_node = self.current_node.left
        else:
            self.parent = self.current_node                
            self.current_node = self.current_node.right

    if searched == False: # delete할 Node가 없으면, False를 리턴하고 함수 종료
        return False

# 이 라인에 오면, self.current_node 가 삭제할 Node, self.parent는 삭제할 Node의 Parent Node인 상태가 됨

5.5.2. Case1: 삭제할 Node가 Leaf Node인 경우¶

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In [ ]:

# self.current_node 가 삭제할 Node, self.parent는 삭제할 Node의 Parent Node인 상태가 됨
    if self.current_node.left == None and self.current_node.right == None:
        if value < self.parent.value:
            self.parent.left = None
        else:
            self.parent.right = None

5.5.2. Case2: 삭제할 Node가 Child Node를 한 개 가지고 있을 경우¶

In [ ]:

# self.current_node 가 삭제할 Node, self.parent는 삭제할 Node의 Parent Node인 상태가 됨
    if self.current_node.left != None and self.current_node.right == None:
        if value < self.parent.value:
            self.parent.left = self.current_node.left
        else:
            self.parent.right = self.current_node.left
    elif self.current_node.left == None and self.current_node.right != None:
        if value < self.parent.value:
            self.parent.left = self.current_node.right
        else:
            self.parent.right = self.current_node.right

5.5.3. Case3-1: 삭제할 Node가 Child Node를 두 개 가지고 있을 경우 (삭제할 Node가 Parent Node 왼쪽에 있을 때)¶

기본 사용 가능 전략
1. 삭제할 Node의 오른쪽 자식 중, 가장 작은 값을 삭제할 Node의 Parent Node가 가리키도록 한다.
2. 삭제할 Node의 왼쪽 자식 중, 가장 큰 값을 삭제할 Node의 Parent Node가 가리키도록 한다.
기본 사용 가능 전략 중, 1번 전략을 사용하여 코드를 구현하기로 함
- 경우의 수가 또다시 두가지가 있음
  - Case3-1-1: 삭제할 Node가 Parent Node의 왼쪽에 있고, 삭제할 Node의 오른쪽 자식 중, 가장 작은 값을 가진 Node의 Child Node가 없을 때
  - Case3-1-2: 삭제할 Node가 Parent Node의 왼쪽에 있고, 삭제할 Node의 오른쪽 자식 중, 가장 작은 값을 가진 Node의 오른쪽에 Child Node가 있을 때
    - 가장 작은 값을 가진 Node의 Child Node가 왼쪽에 있을 경우는 없음, 왜냐하면 왼쪽 Node가 있다는 것은 해당 Node보다 더 작은 값을 가진 Node가 있다는 뜻이기 때문임

In [ ]:

# self.current_node 가 삭제할 Node, self.parent는 삭제할 Node의 Parent Node인 상태가 됨
    if self.current_node.left != None and self.current_node.right != None:
        if value < self.parent.value:
            self.change_node = self.current_node.right
            self.change_node_parent = self.current_node.right                
            while self.change_node.left != None:
                self.change_node_parent = self.change_node
                self.change_node = self.change_node.left
            self.change_node_parent.left = None
            if self.change_node.right != None:
                self.change_node_parent.left = self.change_node.right
            else:
                self.change_node_parent.left = None
            self.parent.left = self.change_node
            self.change_node.right = self.change_node_parent
            self.change_node.left = self.current_node.left

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5.5.4. Case3-2: 삭제할 Node가 Child Node를 두 개 가지고 있을 경우 (삭제할 Node가 Parent Node 오른쪽에 있을 때)¶

기본 사용 가능 전략
1. 삭제할 Node의 오른쪽 자식 중, 가장 작은 값을 삭제할 Node의 Parent Node가 가리키도록 한다.
2. 삭제할 Node의 왼쪽 자식 중, 가장 큰 값을 삭제할 Node의 Parent Node가 가리키도록 한다.
기본 사용 가능 전략 중, 1번 전략을 사용하여 코드를 구현하기로 함
- 경우의 수가 또다시 두가지가 있음
  - Case3-2-1: 삭제할 Node가 Parent Node의 왼쪽에 있고, 삭제할 Node의 오른쪽 자식 중, 가장 작은 값을 가진 Node의 Child Node가 없을 때
  - Case3-2-2: 삭제할 Node가 Parent Node의 왼쪽에 있고, 삭제할 Node의 오른쪽 자식 중, 가장 작은 값을 가진 Node의 오른쪽에 Child Node가 있을 때
    - 가장 작은 값을 가진 Node의 Child Node가 왼쪽에 있을 경우는 없음, 왜냐하면 왼쪽 Node가 있다는 것은 해당 Node보다 더 작은 값을 가진 Node가 있다는 뜻이기 때문임

In [ ]:

# self.current_node 가 삭제할 Node, self.parent는 삭제할 Node의 Parent Node인 상태가 됨
    else:  # if self.parent.value < value:
        self.change_node = self.current_node.right
        self.change_node_parent = self.current_node.right                
        while self.change_node.left != None:
            self.change_node_parent = self.change_node
            self.change_node = self.change_node.left
        self.change_node_parent.left = None
        if self.change_node.right != None:
            self.change_node_parent.left = self.change_node.right
        else:
            self.change_node_parent.left = None                    
        self.parent.left = self.change_node
        self.change_node.right = self.change_node_parent
        self.change_node.left = self.current_node.left

5.5.5. 파이썬 전체 코드 구현¶

In [3]:

class Node:
    def __init__(self, value):
        self.value = value
        self.left = None
        self.right = None

        
class NodeMgmt:
    def __init__(self, head):
        self.head = head
    
    def insert(self, value):
        self.current_node = self.head
        while True:
            if value < self.current_node.value:
                if self.current_node.left != None:
                    self.current_node = self.current_node.left
                else:
                    self.current_node.left = Node(value)
                    break
            else:
                if self.current_node.right != None:
                    self.current_node = self.current_node.right
                else:
                    self.current_node.right = Node(value)
                    break
    
    def search(self, value):
        self.current_node = self.head
        while self.current_node:
            if self.current_node.value == value:
                return True
            elif value < self.current_node.value:
                self.current_node = self.current_node.left
            else:
                self.current_node = self.current_node.right
        return False        
    
    def delete(self, value):
        # 삭제할 노드 탐색
        searched = False
        self.current_node = self.head
        self.parent = self.head
        while self.current_node:
            if self.current_node.value == value:
                searched = True
                break
            elif value < self.current_node.value:
                self.parent = self.current_node
                self.current_node = self.current_node.left
            else:
                self.parent = self.current_node
                self.current_node = self.current_node.right

        if searched == False:
            return False    

        # case1
        if  self.current_node.left == None and self.current_node.right == None:
            if value < self.parent.value:
                self.parent.left = None
            else:
                self.parent.right = None
        
        # case2
        elif self.current_node.left != None and self.current_node.right == None:
            if value < self.parent.value:
                self.parent.left = self.current_node.left
            else:
                self.parent.right = self.current_node.left
        elif self.current_node.left == None and self.current_node.right != None:
            if value < self.parent.value:
                self.parent.left = self.current_node.right
            else:
                self.parent.right = self.current_node.right        
        
        # case 3
        elif self.current_node.left != None and self.current_node.right != None: # case3
            if value < self.parent.value:
                self.change_node = self.current_node.right
                self.change_node_parent = self.current_node.right
                while self.change_node.left != None:
                    self.change_node_parent = self.change_node
                    self.change_node = self.change_node.left
                if self.change_node.right != None:
                    self.change_node_parent.left = self.change_node.right
                else:
                    self.change_node_parent.left = None
                self.parent.left = self.change_node
                self.change_node.right = self.current_node.right
                self.change_node.left = self.change_node.left
            # case 3-2
            else:
                self.change_node = self.current_node.right
                self.change_node_parent = self.current_node.right
                while self.change_node.left != None:
                    self.change_node_parent = self.change_node
                    self.change_node = self.change_node.left
                if self.change_node.right != None:
                    self.change_node_parent.left = self.change_node.right
                else:
                    self.change_node_parent.left = None
                self.parent.right = self.change_node
                self.change_node.left = self.current_node.left
                self.change_node.right = self.current_node.right

        return True

5.5.6. 파이썬 전체 코드 테스트¶

random 라이브러리 활용
- random.randint(첫번째 숫자, 마지막 숫자): 첫번째 숫자부터 마지막 숫자 사이에 있는 숫자를 랜덤하게 선택해서 리턴
  - 예: random.randint(0, 99): 0에서 99까지 숫자중 특정 숫자를 랜덤하게 선택해서 리턴해줌

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In [4]:

import random

# 1 ~ 1000 중, 100개의 숫자 랜덤 선택 
bst_nums = set()
while len(bst_nums) != 100:
    bst_nums.add(random.randint(0, 999))

# 100개의 숫자 이진 탐색 트리에 입력, 임의로 루트노드는 500을 넣기로 함
head = Node(500)
binary_tree = NodeMgmt(head)
for num in bst_nums:
    binary_tree.insert(num)

# 입력한 100개의 숫자를 검색 (검색 기능 확인)
for num in bst_nums:
    if binary_tree.search(num) == False:
        print ('search failed', num)

# 입력한 100개의 숫자 중 10개의 숫자를 랜덤 선택
delete_nums = set()
bst_nums = list(bst_nums)
while len(delete_nums) != 10:
    delete_nums.add(bst_nums[random.randint(0, 99)])

# 선택한 10개의 숫자를 삭제 (삭제 기능 확인)
for del_num in delete_nums:
    if binary_tree.delete(del_num) == False:
        print ('search failed', delete_nums, del_num)

6. 이진 탐색 트리의 시간 복잡도와 단점¶

6.1. 시간 복잡도 (탐색시)¶

depth (트리의 높이) 를 h라고 표기한다면, O(h)
n개의 노드를 가진다면, $h = log_2{n} $ 에 가까우므로, 시간 복잡도는 $ O(log{n}) $
- 참고: 빅오 표기법에서 $log{n}$ 에서의 log의 밑은 10이 아니라, 2입니다.
  - 한번 실행시마다, 50%의 실행할 수도 있는 명령을 제거한다는 의미. 즉 50%의 실행시간을 단축시킬 수 있다는 것을 의미함

(출처: www.mathwarehouse.com)

6.2. 이진 탐색 트리 단점¶

평균 시간 복잡도는 $ O(log{n}) $ 이지만,
- 이는 트리가 균형잡혀 있을 때의 평균 시간복잡도이며,
다음 예와 같이 구성되어 있을 경우, 최악의 경우는 링크드 리스트등과 동일한 성능을 보여줌 ( $O(n)$ )