잔재미코딩

이진 트리 탐색 (Binary Tree Search)

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12. 탐색 알고리즘3: 이진 탐색 트리 (Binary Search Tree)

1. 트리 (Tree) 구조

  • 트리: Node와 Branch를 이용해서, 사이클을 이루지 않도록 구성한 데이터 구조
  • 실제로 어디에 많이 사용되나?
    • 트리 중 이진 트리 (Binary Tree) 형태의 구조로, 탐색(검색) 알고리즘 구현을 위해 많이 사용됨

2. 알아둘 용어

  • Node: 트리에서 데이터를 저장하는 기본 요소 (데이터와 다른 연결된 노드에 대한 Branch 정보 포함)
  • Root Node: 트리 맨 위에 있는 노드
  • Level: 최상위 노드를 Level 0으로 하였을 때, 하위 Branch로 연결된 노드의 깊이를 나타냄
  • Parent Node: 어떤 노드의 다음 레벨에 연결된 노드
  • Child Node: 어떤 노드의 상위 레벨에 연결된 노드
  • Leaf Node (Terminal Node): Child Node가 하나도 없는 노드
  • Sibling (Brother Node): 동일한 Parent Node를 가진 노드
  • Depth: 트리에서 Node가 가질 수 있는 최대 Level

3. 이진 트리와 이진 탐색 트리 (Binary Search Tree)

  • 이진 트리: 노드의 최대 Branch가 2인 트리
  • 이진 탐색 트리 (Binary Search Tree, BST): 이진 트리에 다음과 같은 추가적인 조건이 있는 트리
    • 왼쪽 노드는 해당 노드보다 작은 값, 오른쪽 노드는 해당 노드보다 큰 값을 가지고 있음!

(출처: www.mathwarehouse.com)

4. 자료 구조 이진 탐색 트리의 장점과 주요 용도

  • 주요 용도: 데이터 검색(탐색)
  • 장점: 탐색 속도를 개선할 수 있음

단점은 이진 탐색 트리 알고리즘 이해 후에 살펴보기로 함

이진트리와 정렬된 배열간의 탐색 비교

(출처: www.mathwarehouse.com)

5. 파이썬 객체지향 프로그래밍으로 링크드 리스트 구현하기

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5.1. 노드 클래스 만들기

In [1]:
class Node:
    def __init__(self, value):
        self.value = value
        self.left, self.right = None, None    # 이렇게도 한번에 여러 변수를 초기화할 수 있음

5.2. 이진 탐색 트리에 데이터 넣기

  • 이진 탐색 트리 조건에 부합하게 데이터를 넣어야 함
In [19]:
class NodeMgmt:
    def __init__(self, head):
        self.head = head
    
    def insert(self, value):
        self.current_node = self.head
        while True:
            if value < self.current_node.value:
                if self.current_node.left != None:
                    self.current_node = self.current_node.left
                else:
                    self.current_node.left = Node(value)
                    break
            else:
                if self.current_node.right != None:
                    self.current_node = self.current_node.right
                else:
                    self.current_node.right = Node(value)
                    break
In [20]:
head = Node(1)
binary_tree = NodeMgmt(head)
In [21]:
binary_tree.insert(2)

5.3. 이진 탐색 트리 탐색

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In [22]:
class NodeMgmt:
    def __init__(self, node):
        self.head = node
    
    def insert(self, value):
        self.current_node = self.head
        while True:
            if value < self.current_node.value:
                if self.current_node.left != None:
                    self.current_node = self.current_node.left
                else:
                    self.current_node.left = Node(value)
                    break
            else:
                if self.current_node.right != None:
                    self.current_node = self.current_node.right
                else:
                    self.current_node.right = Node(value)
                    break
    
    def search(self, value):
        self.current_node = self.head
        while self.current_node:
            if self.current_node.value == value:
                return True
            elif value < self.current_node.value:
                self.current_node = self.current_node.left
            else:
                self.current_node = self.current_node.right
        return False
In [23]:
head = Node(1)
binary_tree = NodeMgmt(head)
binary_tree.insert(2)
binary_tree.insert(0)
binary_tree.insert(4)
binary_tree.insert(8)
binary_tree.insert(-2)
In [24]:
binary_tree.search(8)
Out[24]:
True

5.4. 이진 탐색 트리 삭제

  • 매우 복잡함. 경우를 나누어서 이해하는 것이 좋음

5.4.1. Leaf Node 삭제

  • Leaf Node: Child Node 가 없는 Node
  • 삭제할 Node의 Parent Node가 삭제할 Node를 가리키지 않도록 한다.

5.4.2. Child Node 가 하나인 Node 삭제

  • 삭제할 Node의 Parent Node가 삭제할 Node의 Child Node를 가리키도록 한다.

5.4.3. Child Node 가 두 개인 Node 삭제

  1. 삭제할 Node의 오른쪽 자식 중, 가장 작은 값을 삭제할 Node의 Parent Node가 가리키도록 한다.
  2. 삭제할 Node의 왼쪽 자식 중, 가장 큰 값을 삭제할 Node의 Parent Node가 가리키도록 한다.

5.5. 이진 탐색 트리 삭제 코드 구현과 분석

5.5.1 삭제할 Node 탐색

  • 삭제할 Node가 없는 경우도 처리해야 함
    • 이를 위해 삭제할 Node가 없는 경우는 False를 리턴하고, 함수를 종료 시킴
In [ ]:
# def delete(self, value) 함수 내 - 삭제할 Node의 데이터인 value를 입력으로 받음
    searched = False # delete할 Node가 있는지를 판단하는 boolean 변수 선언
    self.current_node, self.parent = self.head, self.head
    while self.current_node:
        if self.current_node.value == value:
            searched = True
            break
        elif value < self.current_node.value:
            self.parent = self.current_node
            self.current_node = self.current_node.left
        else:
            self.parent = self.current_node                
            self.current_node = self.current_node.right

    if searched == False: # delete할 Node가 없으면, False를 리턴하고 함수 종료
        return False

# 이 라인에 오면, self.current_node 가 삭제할 Node, self.parent는 삭제할 Node의 Parent Node인 상태가 됨
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5.5.2. Case1: 삭제할 Node가 Leaf Node인 경우

In [ ]:
# self.current_node 가 삭제할 Node, self.parent는 삭제할 Node의 Parent Node인 상태가 됨
    if self.current_node.left == None and self.current_node.right == None:
        if value < self.parent.value:
            self.parent.left = None
        else:
            self.parent.right = None

5.5.2. Case2: 삭제할 Node가 Child Node를 한 개 가지고 있을 경우

In [ ]:
# self.current_node 가 삭제할 Node, self.parent는 삭제할 Node의 Parent Node인 상태가 됨
    if self.current_node.left != None and self.current_node.right == None:
        if value < self.parent.value:
            self.parent.left = self.current_node.left
        else:
            self.parent.right = self.current_node.left
    elif self.current_node.left == None and self.current_node.right != None:
        if value < self.parent.value:
            self.parent.left = self.current_node.right
        else:
            self.parent.right = self.current_node.right

5.5.3. Case3-1: 삭제할 Node가 Child Node를 두 개 가지고 있을 경우 (삭제할 Node가 Parent Node 왼쪽에 있을 때)

  • 기본 사용 가능 전략
    1. 삭제할 Node의 오른쪽 자식 중, 가장 작은 값을 삭제할 Node의 Parent Node가 가리키도록 한다.
    2. 삭제할 Node의 왼쪽 자식 중, 가장 큰 값을 삭제할 Node의 Parent Node가 가리키도록 한다.
  • 기본 사용 가능 전략 중, 1번 전략을 사용하여 코드를 구현하기로 함
    • 경우의 수가 또다시 두가지가 있음
      • Case3-1-1: 삭제할 Node가 Parent Node의 왼쪽에 있고, 삭제할 Node의 오른쪽 자식 중, 가장 작은 값을 가진 Node의 Child Node가 없을 때
      • Case3-1-2: 삭제할 Node가 Parent Node의 왼쪽에 있고, 삭제할 Node의 오른쪽 자식 중, 가장 작은 값을 가진 Node의 오른쪽에 Child Node가 있을 때
        • 가장 작은 값을 가진 Node의 Child Node가 왼쪽에 있을 경우는 없음, 왜냐하면 왼쪽 Node가 있다는 것은 해당 Node보다 더 작은 값을 가진 Node가 있다는 뜻이기 때문임

In [ ]:
# self.current_node 가 삭제할 Node, self.parent는 삭제할 Node의 Parent Node인 상태가 됨
    if self.current_node.left != None and self.current_node.right != None:
        if value < self.parent.value:
            self.change_node = self.current_node.right
            self.change_node_parent = self.current_node.right                
            while self.change_node.left != None:
                self.change_node_parent = self.change_node
                self.change_node = self.change_node.left
            self.change_node_parent.left = None
            if self.change_node.right != None:
                self.change_node_parent.left = self.change_node.right
            else:
                self.change_node_parent.left = None
            self.parent.left = self.change_node
            self.change_node.right = self.change_node_parent
            self.change_node.left = self.current_node.left

5.5.4. Case3-2: 삭제할 Node가 Child Node를 두 개 가지고 있을 경우 (삭제할 Node가 Parent Node 오른쪽에 있을 때)

  • 기본 사용 가능 전략
    1. 삭제할 Node의 오른쪽 자식 중, 가장 작은 값을 삭제할 Node의 Parent Node가 가리키도록 한다.
    2. 삭제할 Node의 왼쪽 자식 중, 가장 큰 값을 삭제할 Node의 Parent Node가 가리키도록 한다.
  • 기본 사용 가능 전략 중, 1번 전략을 사용하여 코드를 구현하기로 함
    • 경우의 수가 또다시 두가지가 있음
      • Case3-2-1: 삭제할 Node가 Parent Node의 왼쪽에 있고, 삭제할 Node의 오른쪽 자식 중, 가장 작은 값을 가진 Node의 Child Node가 없을 때
      • Case3-2-2: 삭제할 Node가 Parent Node의 왼쪽에 있고, 삭제할 Node의 오른쪽 자식 중, 가장 작은 값을 가진 Node의 오른쪽에 Child Node가 있을 때
        • 가장 작은 값을 가진 Node의 Child Node가 왼쪽에 있을 경우는 없음, 왜냐하면 왼쪽 Node가 있다는 것은 해당 Node보다 더 작은 값을 가진 Node가 있다는 뜻이기 때문임

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In [ ]:
# self.current_node 가 삭제할 Node, self.parent는 삭제할 Node의 Parent Node인 상태가 됨
    else:  # if self.parent.value < value:
        self.change_node = self.current_node.right
        self.change_node_parent = self.current_node.right                
        while self.change_node.left != None:
            self.change_node_parent = self.change_node
            self.change_node = self.change_node.left
        self.change_node_parent.left = None
        if self.change_node.right != None:
            self.change_node_parent.left = self.change_node.right
        else:
            self.change_node_parent.left = None                    
        self.parent.left = self.change_node
        self.change_node.right = self.change_node_parent
        self.change_node.left = self.current_node.left

5.5.5. 파이썬 전체 코드 구현

In [3]:
class Node:
    def __init__(self, value):
        self.value = value
        self.left = None
        self.right = None

        
class NodeMgmt:
    def __init__(self, head):
        self.head = head
    
    def insert(self, value):
        self.current_node = self.head
        while True:
            if value < self.current_node.value:
                if self.current_node.left != None:
                    self.current_node = self.current_node.left
                else:
                    self.current_node.left = Node(value)
                    break
            else:
                if self.current_node.right != None:
                    self.current_node = self.current_node.right
                else:
                    self.current_node.right = Node(value)
                    break
    
    def search(self, value):
        self.current_node = self.head
        while self.current_node:
            if self.current_node.value == value:
                return True
            elif value < self.current_node.value:
                self.current_node = self.current_node.left
            else:
                self.current_node = self.current_node.right
        return False        
    
    def delete(self, value):
        # 삭제할 노드 탐색
        searched = False
        self.current_node = self.head
        self.parent = self.head
        while self.current_node:
            if self.current_node.value == value:
                searched = True
                break
            elif value < self.current_node.value:
                self.parent = self.current_node
                self.current_node = self.current_node.left
            else:
                self.parent = self.current_node
                self.current_node = self.current_node.right

        if searched == False:
            return False    

        # case1
        if  self.current_node.left == None and self.current_node.right == None:
            if value < self.parent.value:
                self.parent.left = None
            else:
                self.parent.right = None
        
        # case2
        elif self.current_node.left != None and self.current_node.right == None:
            if value < self.parent.value:
                self.parent.left = self.current_node.left
            else:
                self.parent.right = self.current_node.left
        elif self.current_node.left == None and self.current_node.right != None:
            if value < self.parent.value:
                self.parent.left = self.current_node.right
            else:
                self.parent.right = self.current_node.right        
        
        # case 3
        elif self.current_node.left != None and self.current_node.right != None: # case3
            if value < self.parent.value:
                self.change_node = self.current_node.right
                self.change_node_parent = self.current_node.right
                while self.change_node.left != None:
                    self.change_node_parent = self.change_node
                    self.change_node = self.change_node.left
                if self.change_node.right != None:
                    self.change_node_parent.left = self.change_node.right
                else:
                    self.change_node_parent.left = None
                self.parent.left = self.change_node
                self.change_node.right = self.current_node.right
                self.change_node.left = self.change_node.left
            # case 3-2
            else:
                self.change_node = self.current_node.right
                self.change_node_parent = self.current_node.right
                while self.change_node.left != None:
                    self.change_node_parent = self.change_node
                    self.change_node = self.change_node.left
                if self.change_node.right != None:
                    self.change_node_parent.left = self.change_node.right
                else:
                    self.change_node_parent.left = None
                self.parent.right = self.change_node
                self.change_node.left = self.current_node.left
                self.change_node.right = self.current_node.right

        return True

5.5.6. 파이썬 전체 코드 테스트

  • random 라이브러리 활용
    • random.randint(첫번째 숫자, 마지막 숫자): 첫번째 숫자부터 마지막 숫자 사이에 있는 숫자를 랜덤하게 선택해서 리턴
      • 예: random.randint(0, 99): 0에서 99까지 숫자중 특정 숫자를 랜덤하게 선택해서 리턴해줌
In [4]:
import random

# 1 ~ 1000 중, 100개의 숫자 랜덤 선택 
bst_nums = set()
while len(bst_nums) != 100:
    bst_nums.add(random.randint(0, 999))

# 100개의 숫자 이진 탐색 트리에 입력, 임의로 루트노드는 500을 넣기로 함
head = Node(500)
binary_tree = NodeMgmt(head)
for num in bst_nums:
    binary_tree.insert(num)

# 입력한 100개의 숫자를 검색 (검색 기능 확인)
for num in bst_nums:
    if binary_tree.search(num) == False:
        print ('search failed', num)

# 입력한 100개의 숫자 중 10개의 숫자를 랜덤 선택
delete_nums = set()
bst_nums = list(bst_nums)
while len(delete_nums) != 10:
    delete_nums.add(bst_nums[random.randint(0, 99)])

# 선택한 10개의 숫자를 삭제 (삭제 기능 확인)
for del_num in delete_nums:
    if binary_tree.delete(del_num) == False:
        print ('search failed', delete_nums, del_num)

6. 이진 탐색 트리의 시간 복잡도와 단점

6.1. 시간 복잡도 (탐색시)

  • depth (트리의 높이) 를 h라고 표기한다면, O(h)
  • n개의 노드를 가진다면, $h = log_2{n} $ 에 가까우므로, 시간 복잡도는 $ O(log{n}) $
    • 참고: 빅오 표기법에서 $log{n}$ 에서의 log의 밑은 10이 아니라, 2입니다.
      • 한번 실행시마다, 50%의 실행할 수도 있는 명령을 제거한다는 의미. 즉 50%의 실행시간을 단축시킬 수 있다는 것을 의미함

(출처: www.mathwarehouse.com)

6.2. 이진 탐색 트리 단점

  • 평균 시간 복잡도는 $ O(log{n}) $ 이지만,
    • 이는 트리가 균형잡혀 있을 때의 평균 시간복잡도이며,
  • 다음 예와 같이 구성되어 있을 경우, 최악의 경우는 링크드 리스트등과 동일한 성능을 보여줌 ( $O(n)$ )

이진 탐색 (Binary Search) 중첩 함수 (Nested function)